Razones trigonométricas.

Seno,Coseno y Tangente

Un triángulo rectángulo consta de un ángulo de 90% dos ángulos agudos. Cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo tiene las funciones de seno, coseno y tangente. El seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son rezones de dos de los tres catetos de un triángulo rectángulo.  El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.  El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo dividido por el largo de la hipotenusa.  La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.

. El seno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo de la hipotenusa. 

El coseno de un ángulo es la razón entre el largo del cateto adyacente al ángulo dividido por el largo de la hipotenusa. 

La tangente de un ángulo es la razón entre el largo del cateto opuesto del ángulo dividido por el largo del lado adyacente del ángulo.

Razones trigonométricas.

 La  hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto. La medida de la hipotenusa puede ser hallada mediante el teorema de Pitágoras, si se conoce la longitud de los otros dos lados, denominados catetos.  

Un cateto, en geometría, es cualquiera de los dos lados menores de un triángulo rectángulo los que conforman el ángulo recto. El lado mayor se denomina hipotenusa –el que es opuesto al ángulo recto. La denominación de catetos e hipotenusa se aplica a los lados de los triángulos rectángulos exclusivamente.

Conceptos básicos de geometría.

Conceptos básicos de geometría.

Punto: Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.

Línea: Es una sucesión infinita de puntos.

Las líneas se clasifican básicamente en:

Recta’‘’: Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.

Partes de una Recta:

•semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos

•segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos.

Posición Relativa entre dos Rectas

Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como:

•rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano

•rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano

•rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano

Poligonal’‘’: Línea formada por segmento recto consecutivo no alineados. Se clasifican en:

•poligonal abierta: si los primeros y últimos segmentos no están unidos

•poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos.

‘Ángulo’‘’: Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común.

Curva’‘’:es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente.se clasifica en:

•Curva elemental: Un conjunto γ de puntos del espacio.

•Curva simple: Un conjunto δ de puntos del espacio .

•Curva plana: reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. 

•Curva diferenciable: cuando la X:[a,b] C i = R72 función es diferenciable.

•Curva cerrada: Si además, la función X es  inyectaba en el intervalo.

•Curva suave: curva que no posee puntos angulosos.

•Curva suave por partes: si es suave en todo intervalo de alguna partición de I, es decir que el intervalo puede dividirse en un número finito de su intervalos, en cada uno de los cuales C es suave.

INTRODUCION

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. 

También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.

Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.

Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas.  Junto con esto, una biografía de cada uno  de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA

La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.

 300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos.

  El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.

 Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.Seno(trigonometria)

Cuerdas(trigonometria)

                                                                                                                                                                   

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

Matemático y astrónomo alemán Johann Müller.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

 Matemático John Napier.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.Isaac Newton.

Por último, en el siglo XVII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la  trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Matemático Leonhard Euler.